矩阵和向量
矩阵是二维数组
$\begin{bmatrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ j&k&l \end{bmatrix}$
上面的矩阵有四行三列，所以是一个4*3的矩阵。
而向量可以说是一个多行一列的矩阵：
$\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z
\end{bmatrix}$
总的来说，向量可以说是矩阵的一个子集，上面的向量是一个4*1的矩阵。
符号标记：
- $A_{ij}$ 指矩阵A的i行j列的元素
- 一个n行向量被称为n维的向量
- $v_i$ 指向量的第i行
- 在matlab中，数组的下标是从1开始的，而大部分其他语言则是从0开始的
- 矩阵通常用大写字母表示，向量则通常使用小写字母表示
- 纯量或者叫标量，指的是只有一个值的对象，既不是向量也不是矩阵。
- $R$指一个纯量集合
- $R^n$指一个n维的向量
加法和标量乘法
加法和减法都是逐元素的，所以你可以简单地加或者减每一个对应的元素
(当加或者减两个矩阵时，两个矩阵的尺寸大小必须是相同的)：
$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$+$\begin{bmatrix}w&x\\y&z\end{bmatrix}$=$\begin{bmatrix}a+w&b+x\\c+y&d+z\end{bmatrix}$
在标量乘法中，我们简单地将每一个元素都乘以这个标量值：
$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ $ * x$ = $\begin{bmatrix}a*x&b*x\\c*x&d*x\end{bmatrix}$
矩阵向量乘法
我们把向量的列和矩阵的每一行逐元素的相乘并把结果相加得到：
$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}$ $*$ $\begin{bmatrix}x\\y
\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}a*x+b*y\\c*x+d*y\\e*x+f*y\end{bmatrix}$
结果是一个向量，向量必须是这个乘法的第二项。且矩阵的列数必须等于向量的行数。
比如： 一个m*n的矩阵乘以一个n*1的向量，结果则为m*1向量。
矩阵乘法
我们将矩阵相乘分成若干个矩阵向量乘法，然后将结果串联起来：
$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\e&f\end{bmatrix}$ $*$ $\begin{bmatrix}w&x\\y&z\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}a*w+b*y & a*x+b*z\\c*w+d*y&c*x+d*z\\e*w+f*y&e*x+f*z\end{bmatrix}$
一个m*n的矩阵乘以一个n*o的矩阵，结果将会是一个m*o的矩阵。
在上面的例子当中，一个3*2的矩阵乘以一个2*2的矩阵，结果是一个3*2的矩阵
若两个矩阵相乘，则第一个矩阵的列数要和第二个矩阵的行数相同。
####矩阵乘法的属性
- 没有交换律：A∗B≠B∗A
- 结合律： (A∗B)∗C=A∗(B∗C)
- 单位矩阵表示对角线上都为1，其余为0的矩阵:
$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ 当单位矩阵被同样大小的矩阵相乘时，结果还是原来的矩阵。
感觉就像一个数乘以1还是原来那个数一样。当矩阵乘以单位矩阵形如：（A * I）时，单位阵应该与另一个矩阵的列匹配。
当单位矩阵乘以矩阵形如：（I * A）时，单位阵应该与另一个矩阵的行匹配。
矩阵的逆和转置
矩阵$A$的逆可以被表示为$A^{-1}$,矩阵和它的逆矩阵相乘为单位阵。
如果一个矩阵不是方阵则没有逆矩阵（有伪逆矩阵）。
在matlab中，我们可以用inv(A)来求矩阵的逆。
如果一个矩阵没有逆矩阵，则这个矩阵是奇异矩阵（行列式为0的方阵）或者退化矩阵。
矩阵的转置可以看做将矩阵按顺时针方向旋转90°然后左右翻转。
在matlab中我们可以通过函数transpos(A)或者 A’来计算矩阵的转置：
$A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\\e & f\end{bmatrix}$
$A^T=\begin{bmatrix}a & c & e\\b & d & f\end{bmatrix}$
换句话说，$A_{ij} = A^T_{ji}$ 。